在几何中，重心坐标有特别的性质，相应也有许多用途，其中重心坐标插值在图形学中也有广泛应用。
简介
- 设 三角形ABC 的顶点坐标为 v，对于ABC 中的任意一点 P ，如果存在 α 、 β 、γ ，使得
那么点 (α, β, γ) 即为点 P 在 三角形ABC 中的（归一化）重心坐标。此时由三个顶点和 P 点划分的三个三角形的面积比例为 α:β:γ 。
- 可以看出，对于三角形中任意一个点，通过找到其重心坐标，即找到该点相对于三个顶点的权重，就可以通过三个顶点的数据，对该点进行插值，从而对三角形中的所有点都可以进行插值，这种插值方式即为重心坐标插值。
- 因此，重心坐标插值的核心，即找到每个点对应的权重 α 、 β 、 γ 。
重心坐标推导
- 三角形PAB 的面积为
其中
推导得到
因此，同理可以得到
- 知道了每个三角形的面积后，每个顶点对应的权重为
透视校正插值
- 渲染流水线中，重心坐标插值，通常是在光栅化阶段，对屏幕空间（Screen Space）下的像素进行，而不是在观察空间（View Space）下进行。由于透视投影不是线性变换，因此变换后的三角形和变换前的形状可能会发生变化，如下图所示
正交投影（左）和 透视投影（右）的示例 
2D 推导
- 以 A’B' 为例，其直线方程为
- 以点 A 和 A' 为例，由相似三角形关系可以得到
- 则有
- 因此，对 A’B' 上的任意一点都有
- 假设点 P 为 AB 上的一点，其中
- 可以得到对应 A’B' 上的点 P' 为
- 也就是说，对于屏幕空间下的直线上的点的深度插值，为观察空间下的深度倒数的插值。
3D 推导
- 三角形 A’B’C' 所在的平面方程为
- 类比 2D 推导，可以得到
- 同样，对于 yoz 平面，也有
- 因此，可以得到
- 也就是说，对于三角形 A’B’C' 中的一点，有
- 假设 P 为 三角形 ABC 的重心，则有
- 其中
- 那么，对应三角形 A’B’C' 上的点 P' ，有
- 其中
- 整理可得
- 因此可以得到
- 也就是说，对于屏幕空间下的平面上的点的深度插值，为观察空间下的深度倒数的插值。
总结
- 重心坐标插值方法，在图形学中应用相对比较广泛，深度、法线、颜色等都可以通过这种方式进行插值。了解重心坐标的概念和推导方式后，还需要注意透视投影带来的问题，需要通过校正后，才能得到正确的插值表现。